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Limites & croissances comparées
Fiche de révision · Terminale · institut-algorithme.com
Limites usuelles de l'exponentielle et du logarithme, croissances comparées et méthodes contre les formes indéterminées.
Limites usuelles
| lim eˣ (x → +∞) | +∞ |
| lim eˣ (x → −∞) | 0 |
| lim ln x (x → +∞) | +∞ |
| lim ln x (x → 0⁺) | −∞ |
Croissances comparées
Pour tout entier n ≥ 1 :
| lim eˣxⁿ (x → +∞) | +∞ |
| lim xⁿ eˣ (x → −∞) | 0 |
| lim ln xx (x → +∞) | 0 |
| lim x ln x (x → 0⁺) | 0 |
La hiérarchie à retenir
- ▸En +∞ : ln x ≪ xᵃ (a > 0) ≪ eˣ — l'exponentielle l'emporte toujours, le logarithme perd toujours.
Formes indéterminées et méthodes
- ▸Les quatre formes indéterminées : « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞∞ », « 00 ».
- ▸Factoriser le terme dominant (polynômes et quotients).
- ▸Utiliser les croissances comparées (mélanges de eˣ, ln x, xⁿ).
- ▸Multiplier par la quantité conjuguée (racines carrées).
Théorèmes de comparaison
- ▸Gendarmes : si g ≤ f ≤ h au voisinage et lim g = lim h = ℓ, alors lim f = ℓ.
- ▸Comparaison : si f ≥ g et lim g = +∞, alors lim f = +∞.
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