Limites usuelles

Croissances comparées

Pour tout entier $n\ge 1$ :

La hiérarchie à retenir

• ▸En $+\infty$ : $\ln x\ll x^a(a>0)\ll e^x$ — l'exponentielle l'emporte toujours, le logarithme perd toujours.

Formes indéterminées et méthodes

• ▸Les quatre formes indéterminées : « $\infty -\infty$ », « $0\times \infty$ », « $\frac{\infty }{\infty }$ », « $\frac{0}{0}$ ».
• ▸Factoriser le terme dominant (polynômes et quotients).
• ▸Utiliser les croissances comparées (mélanges de $e^x$, $\ln x$, $x^n$).
• ▸Multiplier par la quantité conjuguée (racines carrées).

Théorèmes de comparaison

• ▸Gendarmes : si $g\le f\le h$ au voisinage et $\lim g=\lim h=\ell$, alors $\lim f=\ell$.
• ▸Comparaison : si $f\ge g$ et $\lim g=+\infty$, alors $\lim f=+\infty$.