Variable aléatoire : espérance et variance

• ▸Espérance : $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_i)$ — la « moyenne » des valeurs pondérées par leurs probabilités.
• ▸Variance : $V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ · Écart-type : $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$
• ▸Linéarité : $E(aX+b)=aE(X)+b$ · $V(aX+b)=a^{2}V(X)$

Loi de Bernoulli de paramètre p

Loi binomiale B(n, p)

$X$ compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli : $n$ répétitions identiques et indépendantes d'une épreuve à deux issues.

Sommes de variables aléatoires

• ▸$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ (toujours vrai)
• ▸Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
• ▸Moyenne d'un échantillon de taille $n$ : $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\frac{{\sigma }^2}{n}$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

• ▸Pour tout $a>0$ : $P\left(\left|X-E(X)\right|\ge a\right)\le \frac{V(X)}{a^2}$
• ▸Conséquence (loi des grands nombres) : la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance.