Variable aléatoire : espérance et variance

• ▸Espérance : E(X) = Σ xᵢ P(X = xᵢ) — la « moyenne » des valeurs pondérées par leurs probabilités.
• ▸Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]² · Écart-type : σ(X) = √V(X)
• ▸Linéarité : E(aX + b) = aE(X) + b · V(aX + b) = a²V(X)

Loi de Bernoulli de paramètre p

Loi binomiale B(n, p)

X compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli : n répétitions identiques et indépendantes d'une épreuve à deux issues.

Sommes de variables aléatoires

• ▸E(X + Y) = E(X) + E(Y) (toujours vrai)
• ▸Si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y)
• ▸Moyenne d'un échantillon de taille n : E(Mₙ) = μ et V(Mₙ) = σ²n

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

• ▸Pour tout a > 0 : P(|X − E(X)| ≥ a) ≤ V(X)a²
• ▸Conséquence (loi des grands nombres) : la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance.